কোন ভেক্টরের ডাইভারজেন্স 2(x+y+z) হলে ভেক্টরটি কী?

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}\) এর ডাইভারজেন্স (Divergence) হলো একটি স্কেলার রাশি যা নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

\[ \text{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]

যেখানে \(\frac{\partial}{\partial x}\), \(\frac{\partial}{\partial y}\) এবং \(\frac{\partial}{\partial z}\) হলো আংশিক অন্তরক (partial derivative) অপারেটর।

প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদেরকে এমন একটি ভেক্টর ক্ষেত্র খুঁজে বের করতে হবে যার ডাইভারজেন্স \(2(x+y+z)\)। আমরা বিকল্পগুলো পরীক্ষা করে দেখব:

বিকল্প ৩: \(\vec{F} = x^2\hat{i} + y^2\hat{j} + z^2\hat{k}\)

এই ভেক্টরের জন্য, \(F_x = x^2\), \(F_y = y^2\), এবং \(F_z = z^2\)।

সুতরাং, ডাইভারজেন্স হবে:

\[ \text{div} \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) \]

\[ = 2x + 2y + 2z \]

\[ = 2(x+y+z) \]

যেটি প্রশ্নের প্রদত্ত ডাইভারজেন্সের সাথে মিলে যায়।

অন্যান্য বিকল্পগুলো পরীক্ষা করলে দেখা যায়:

    
• বিকল্প ১: \(\vec{F_1} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\)
    

\[ \text{div} \vec{F_1} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 1 + 1 + 1 = 3 \]

    
• বিকল্প ২: \(\vec{F_2} = x^2\hat{i} + y^2\hat{j} + z\hat{k}\)
    

\[ \text{div} \vec{F_2} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2x + 2y + 1 \]

    
• বিকল্প ৪: \(\vec{F_4} = x\hat{i} + y^2\hat{j} + z^2\hat{k}\)
    

\[ \text{div} \vec{F_4} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 1 + 2y + 2z \]

সুতরাং, শুধুমাত্র বিকল্প ৩ এর ভেক্টরটির ডাইভারজেন্স \(2(x+y+z)\) হয়।